giovedì 8 luglio 2010

Sintassi e semantica. Cioè?

WILARD parte 8: sintassi e semantica.
Vedremo come sintassi e semantica sono tra loro intrecciate anche in matematica. E cercheremo di capire cosa vuol dire valore intrinseco ed estrinseco dei simboli.



Cosa si intende con significato di un simbolo dal punto di vista algebrico ? (vedi La nascita del significato).
Qualcuno ricorderà le noiose lezioni di matematica delle superiori tra cui i "famigerati" prodotti-notevoli dell'algebra, in particolare quello che recita.

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (1.)

In algebra lunghe catene di simboli possono essere trasformate in modo meccanico. Il lato destro dell'eq.1 può essere sostituito dal lato sinistro, e viceversa. Se a denominatore di una espressione avessimo - ad es. -un termine analogo, potremmo semplificare

a^2 + 2ab + b^2
--------------------- =
( a + b )^2

(a + b)^2
---------------- = 1 (2.)
(a+b)^2

Ricorderete i minuziosi passaggi, necessari per ridurre una espressione lunga e complessa, ad una più semplice formata da pochi segni. Questo è quel che si intende con forma sintattica della matematica. O algebra.
In algebra un simbolo non ha un significato in sè e per sè, viene trasformato seguendo regole e prassi estrinseche, i.e. pratiche che prescindono il contenuto del simbolo. Cosa rappresentino "a" e "b" o "a^2" "b^2", se siano alberi, pere, numeri pari, dati istat, persone, o mini-pony colorati, non è questione.
L'espressione (1.) non è una equivalenza numerica, ma una equivalenza logica: la catena di simboli a sinistra è una forma perfettamente e logicamente equivalente a quella di destra. Cosa significhino le parti che lo compongono e perchè siano equivalenti, non è così rilevante dal punto di vista algebrico.

L'espressione (1.) in realtà era nota ai geometri (matematici) almeno da 2000 o, forse, 3000 anni, grazie a metodi e prassi che non si appellavano al magico potere delle regole algebriche, ma alla geometria. La geometria, a differenza dell'algebra, fonda il proprio significato sull'intuizione che abbiamo dello spazio reale: pensiamo ad esempio al concetto di continuo, che sfugge ad una definizione formale, e che permea l'analisi.

A che cosa corrisponde l'espressione (1.) in geometria? A volte è complesso riportare un problema numerico alla geometria, ma in questo caso basta tracciare un segmento s che sia la somma di due segmenti a e b , e "farne il quadrato". Vale a dire, costruire una figura quadrata con base e altezza s = a+b. L'area corrisponde, numericamente parlando a s^2, e quindi ad (a + b )^ 2. Algebricamente parlando, s^2 = (a+b)^2


Ma quanto vale s^2 dal punto di vista geometrico, in questo caso? Se disegniamo il quadrato unendo i punti che dividono s nei due segmenti a e b, da lato a lato, notiamo che risulta formato da quattro figure geometriche simmetriche: due quadrati, e due rettangoli. Se vogliamo calcolare l'area di queste 4 figure, basta osservare le rispettive basi e altezze (sono rettangoli e quadrati, la loro area è data dalla moltiplicazione della base per l'altezza): notiamo facilmente che hanno valore a^2, b^2, ab, ab.

Dato che queste quattro aree coprono totalmente l'area del quadrato, per costruzione, è semplice vedere che l'area di s^2 è pari alla somma delle aree delle sue parti a^2 , b^2, ab, ab, ovvero:
s^2 = ( a + b)^2 = a^2 + b^2 + ab + ab (3.1)

cioè

( a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (3.2)
Proprio come indicato nell'espressione (1.). In definitiva, la sintassi non è un gioco puramente meccanico ed astratto: la sintassi nasconde una semantica. La semantica a sua volta precede e spiega la sintassi. QED.

Ma se le due espressioni, e i due mondi, sono perfettamente equivalenti, allora perchè perdere tempo ad imparare la noiosa e minuziosa algebra quando la geometria è così facile ed intuitiva da comprendere. Probabilmente se lo sono chiesti in molti questo, per primi gli algebristi italiani del '500, e la risposta è molto semplice.
Se è facile riportare (a+b)^2 ad un modello geometrico bidimensionale, e in modo relativamente facile è possibile riportare l'espressione (a+b)^3 ad un modello tridimensionale intuitivo, non è possibile creare un modello intuitivo n-dimensionale dell'espressione (a+b)^n, ad esempio non è possibile costruire un modello geometrico quadridimensionale intuitivo dell'espressione (a+b)^4, nè soprattutto è possibile costruire un metodo generale valido per un n qualsiasi fissato a piacere.
L'algebra con i suoi meccanismi ripetibili ed estensibili stravolge le barriere dell'intuizione per risolvere problemi che diversamente non sarebbero affrontabili.

Che ci crediate o meno, l'informatica si fonda sul medesimo principio, nasce proprio dalla stessa filosofia: la logica e il ragionamento inteso non in senso intutivo e come contenuto, ma come mera manipolazione sintattica di simboli: i computer manipolano simboli, esemplificati da numeri binari; l'espressione popolare è che "i computer fanno girare programmi". Questi simboli portano un contenuto, che è stato meccanizzato e quindi prescinde l'aspetto semantico, ma senza disperderlo: la sintassi nasconde la semantica, e in un certo senso la supera, la travalica. Alla fine di molti e molti calcoli, la sintassi si arresta, i calcoli si chiudono, i programmi terminano, e la sintassi si rifà semantica. Ovvero dato in uscita o forma rappresentativa. Immagine, ad esempio. O parola.

Che ci crediate o no, il primo computer è stato concettualmente formalizzato da A.Turing nel 1936, definito in modo puramente astratto, come puro strumento matematico e concettuale, e alcuni tra i problemi più importanti dell'informatica tra cui il primo dei 7 problemi del millenio, sono stati formulati 8 anni prima che il primo computer reale venisse costruito.
L'informatica da questo punto di vista è una pura scienza astratta. Forse la più astratta e la più difficile delle scienze. Di certo, la più giovane e la più moderna.

2 commenti:

Angie ha detto...

Ci credo ci credo.

Vera ha detto...

Bisognerebbe giocare fino a trent'anni e poi cominciare a studiare (lavorare ovviamente mai)
Quello che, quando ero ragazza, trovavo terribilmente noioso, oggi che son vecchia, spesso mi incuriosisce ed appassiona.
Forse dipende anche dal fatto che da adulti ci si può scegliere i propri insegnanti. Da giovani quel che ti capita ti capita, e buona fortuna. Molti preferirei scordarli, pochi hanno saputo lasciare qualcosa di importante.

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SM